最困擾的是基礎數學功力不夠呀！
果然出來混總是要還的
----------------------------碎碎念結束---------------------------
在一個系統中，不同狀態的轉換都是根據機率決定是否發生，
不過，要將一個系統轉換成數學可以處理的模式，
則需要我們「定義」這個系統，以便符合我們可用的數學模型，
以火車站為例：一個車站內會有很多人來搭火車，
乘客的目的是希望可以搭到車，就以「到車站 -> 等車 -> 上車」這個流程來看。
根據Kendall notation，我們可以定義：
- State(系統狀態)：車站內的人數
- Transition rate(狀態往前的機率)：乘客到車站的機率
- Departure rate(狀態往後的機率)：乘客上車的機率
- Queue Size/Buffer Size(系統內的上限)；車站可以容納等車人數的多寡
- Number of parallel server(同時有多少Server提供服務)：一次會有多少車來
- Queueing discipline(提供服務的順序)：大家上車的順序
當然，上述是簡化後的例子，實際情況會比描述得更為複雜，
不過這邊做一定程度的簡化，使其可以利用數學工具做一定程度的評估。
在上面的例子中，每個State代表車站內的人數，對於要關注這個系統的人來說，
我們感興趣的部分可能會有：
- 這個車站平均有多少人？
- 平均每個乘客要等多久？
- 車站大多數時候會有多少人在等車？
- 要如何調整發車才可以減少等候時間？
- ......
為了要計算這些，我們可以從「在某狀態下的機率」作為起點，
假設在一個穩定的系統中，單一狀態的機率在觀察時間夠長的話，
其機率會固定在一個特定的值，我們稱之為pk
以上述式子來說，代表「狀態k機率的穩定態，其機率等於在無窮遠的時間下，得到之狀態k的機率」。
而我們假設，進入這個系統的機率是λ；離開這個系統的機率是µ，
以上面的例子(Birth-Death系統)為例，會有以下特性：
- 車站內的人數最小為0，不會有負數
- 所有狀態的機率和為1(表示所有狀況都考慮在內)
而一個系統在穩定態時，系統的Flow in = Flow out，代表該系統進出的機率會是相同的，
這樣系統內的人數才會維持一定。也就是說：
Flow in = Flow out
→ 進入該狀態的機率 = 離開該狀態的機率
→前個狀態下的進入率+下個狀態的離開率 = 現在狀態下的進入率與離開率和
→ 
根據以上特性，我們可以推出在狀態K的機率為：
而狀態0的機率是：
利用這兩個關係式，就可以針對我們定義的系統，計算在不同情境下，在穩定態的機率。
根據這些機率，配合上Little's Law，就可以方便的算出相關的系統表現了！
參考資料：
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