[Queueing theory]Birth-Death process(出生-死亡過程)

        這世界上可以分析的系統非常多，從乘客搭車、商店排隊、銀行辦事、工廠產出、流量分析...等等，但是可用的數學模型是有限的，因此在模擬時，為了使複雜度調整到可以處理的程度，因此會針對系統做些簡化。因此，逐漸產生了一些固定的模型供使用，其中Birth-Death process是一個相當著名的例子：

在這個Process中，State的轉換是符合連續時間下的馬可夫鍊(CTMC)，且已知：

• Arrival Rate: Poisson Distribution(l)
• l(k) = 在狀態K時，轉換到狀態k+1的機率
• Departure Rate: Poisson Distribution(m)
• m(k) = 在狀態K時，轉換到狀態K-1的機率
• 極短時機內，最多一人到達
• 每個客人到達時間互相獨立

根據以上，可以畫成以下狀態圖：

在這個系統中，由於沒有限定顧客的來源，因此在任意State下，其Arrival Rate皆相同：

l(k) = l

同理，由於沒有限定系統內的Buffer大小，因此每個客人都會被接受，其Departure Rate為：

m(k) = m

那在這個系統中的穩定態，基於「Flow in = Flow out」：
(Hint：P(0) = 在狀態0的機率)

• 狀態0：mP(1) = lP(0)
• 狀態1：lP(2) + mP(0) = lP(1) + mP(1)
• 狀態2：lP(3) + mP(1) = lP(2) + mP(2)
• ......
• 狀態n：lP(n-1) + mP(n+1) = lP(n) + mP(n)

上述關係式簡化後，會變成：

 P(n) = (l/m)^n * P(0)

P(0) = 1 - (l/m)